Formula lui Bayes : P(a|b)*P(b)=P(b|a)*P(a).

Problema 1

Avem două cutii care arată identic.
Cutia X cu două bile albe și două bile negre.
Cutia Y cu trei bile albe și o bilă neagră.
Alegem la întâmplare o cutie și extragem o bilă din ea.
1. Ce culoare va avea cel mai probabil bila extrasă ?
2. Dacă bila extrasă e de culoare albă care e probabilitatea să fi extras bila din cutia Y ?

Ambele cutii arătând identic P(X)=P(Y)=0.5 .
Pentru cutia X P(bilă albă|X)=2/4(două bile din patru)=0.5 .
Pentru cutia X P(bilă neagră|X)=2/4(tot două bile din patru)=0.5 .
Pentru cutia Y P(bilă albă|Y)=3/4(trei bile din patru)=0.75 .
Pentru cutia Y P(bilă neagră|Y)=1/4(o bilă din patru)=0.25 .

Pentru întrebarea 1 avem P(bila albă)=P(bilă albă|X)*P(X)+P(bilă albă|Y)*P(Y) .
P(bila albă)=0.5*0.5+0.5*0.75=0.5*1.25=0.625 .
Suplimentar P(bilă neagră)=P(bilă neagră|X)*P(X)+P(bilă neagră|Y)*P(Y) .
P(bilă neagră)=0.5*0.5+0.5*0.25=0.5*.075=0.375 .
sau P(bilă neagră)=1-P(bilă albă)=1-0.625=0.375 .
Concluzie : cel mai probabil bila va fi albă .

Pentru întrebarea 2 aplicănd teorema lui Bayes avem P(Y|bilă albă)*P(bilă albă)=P(bilă albă|Y)*P(Y) .
P(Y|bilă albă)=P(bilă albă|Y) * P(Y) / P(bilă albă) .
Concluzie : P(Y|bilă albă)= 0.75 * 0.5 / 0.625 = 0.6 .

Problema 2


Avem o urnă cu trei bile ce pot avea culoarea albă sau neagră.
Extragem fără să ne uităm în urnă o bilă notăm culoarea iar apoi o reântroducem în urnă.
Repetăm operația de încă două ori.
Dacă bilele scoase în cele trei cazuri au fost toate albe care e probabilitatea ca toate bilele din urnă să fie albe ?

Notând prima bilă scoasă cu A iar celelate două bile din urnă cu B respectiv C avem 1*3*3=9 cazuri în care pot fi scoase bilele .
Un caz e cel în care scoatem aceiași bilă de trei ori (A,A,A) culorile pentu bilele B și C sunt necunoscute.
Două cazuri sunt cele în care bilele scoase sunt diferite (A,B,C) și (A,C,B) .
Prin eliminare restul de șase cazuri vor fi cu o bilă scoasă de două ori iar alta o singură dată rămânând astfel o bilă cu culoarea necunoscută.
P(toate albe)=P(scos aceiasi bila de trei ori)*P(cele doua bile ramase sa fie albe) + P(scos bile diferite)*1 + P(scos o bilă de două ori și o bilă o dată)*P(bila rămasă să fie albă).
P(toate albe)=(1/9)*(1/4)+(2/9)*1+(6/9)*1/2=0.58(3).

Problema 3

Se tot aruncă un zar până când iese cifra 6. Care este probabilitatea ca suma numerelor ieșite să fie pară.
Rezolvare superbă p=1/6+p/3+(1-p)/2

Prolog: Vrem să clasificăm un fruct pe baza unui istoric:

Fruct Aspect Gust Culoare Total
Lung Rotund Dulce Numai dulce nu Galben Alte culori
Banana 400 100 350 150 450 50 500
Orange 0 300 150 150 300 0 300
Alte fructe 100 100 150 50 50 150 200
Total 500 500 650 350 800 200 1000

1. Considerând Aspect,Gust si Culoare, ca teste separate de efectuat în ce ordine și în funcție de rezultate trebuie făcute.